Приложения 

Ботвинников А.Д. § 28 [1]

pdf  Презентация "Развёртки поверхностей геометрических тел"


pdf  Длина окружности и площадь круга


pdf  Развёртки многогранников и тел вращения

 

Развёртка додекаэдра

pdf

Возьмите карандаш и проведите на гранях куба (рис. 1) кратчайший путь из точки А  в точку В.

Рис . 1. Куб

Казалось бы, надо провести линию в переднюю вершину куба, а затем вниз по ребру. Но этот путь, увы, не кратчайший.

Развернём грани куба в одну плоскость, отметим точки А и В и соединим их прямыми, как показано на рисунке 2.

Рис. 2.

Кратчайший путь, как видим, проходит через середины ребер куба, а не через его вершины. Этот путь  обозначен на рисунке 3, сплошными тонкими линиями.

Рис. 3

Плоская фигура, полученная нами на рисунке 2, называется разверткой куба.

Развертки имеют большое применение на машиностроительных заводах, обувных фабриках, в швейных мастерских. Для изготовления кожухов машин, ограждений станков, вентиляционных устройств, трубопроводов необходимо из листового материала вырезать их развертки.

Рис. 4

Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).

Оформление чертежа развёртки

От линий сгиба на развёртке, которые проводят штрихпунктирной линией с двумя точками, проводят линии-выноски и пишут на полке «Линии сгиба». Над изображением развёртки выносят специальный знак, размеры которого изображены на рисунке 5.

Рис.5. Обозначение развёртки

Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную при последовательным совмещением всех граней поверхности (многогранника) с плоскостью чертежа в последовательности их расположения на многограннике.   

При построении развертки надо найти сначала истинные, натуральные размеры и форму отдельных элементов предмета на чертеже. В простейших случаях развертки можно вычертить, не пользуясь проекциями предмета. Например, для построения развертки куба достаточно знать размер одного ребра куба.

Рассмотрим построение разверток поверхности некоторых простейших тел.

Призма

Развертка поверхности прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней – прямоугольников и двух равных между собой многоугольников оснований.

Для построения развертки прямой призмы – параллелепипеда, достаточно знать три размера: длину, ширину и высоту призмы (рис. 6).

Рис. 6. Развертка поверхности параллелепипеда

Возьмём правильную прямую шестиугольную призму (рис. 7). Все боковые грани призмы – прямоугольники, равные между собой по ширине а и высоте Н; основания призмы – правильные шестиугольники со стороной, равной а.

Рис. 7. Развертка поверхности прямой шестиугольной призмы

 Так как истинные размеры граней нам известны, нетрудно выполнить построение развертки. Для этого на горизонтальной прямой последовательно откладывают шесть отрезков, равных стороне основания шестиугольника, т. е. 6а. Из полученных точек восставляют перпендикуляры, равные высоте призмы Н, и через конечные точки перпендикуляров проводят вторую горизонтальную прямую. Полученный прямоугольник (Н х 6а) является разверткой боковой поверхности призмы. Затем на одной оси пристраивают фигуры оснований - два шестиугольника со сторонами, равными а. Контур обводят сплошной основной линией, а линии сгиба - штрихпунктирной с двумя точками.

Подобным образом можно построить развертки прямых призм с любой фигурой в основании.

Пирамида

Развертка поверхности правильной пирамиды представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - равнобедренных или равносторонних треугольников и правильного многоугольника основания. Для примера представлены развёртки правильной четырехугольной пирамиды (рис. 8) и правильной пятиугольной пирамиды (рис. 9).

Рис. 8. Развертка поверхности правильной четырёхугольной пирамиды

Решение задачи осложняется тем, что неизвестна величина боковых граней пирамиды, так как ребра граней не параллельны ни одной из плоскостей проекций. Поэтому построение начинают с определения истинной величины наклонного ребра SA. Определив способом вращения (см. рис. 8) истинную длину наклонного ребра SA, равную s'a'₁, из произвольной точки О, как из центра, проводят дугу радиусом s'a'₁. На дуге откладывают четыре отрезка, равные стороне основания пирамиды, которое спроецировано на чертеже в истинную величину. Найденные точки соединяют прямыми с точкой О. Получив развертку боковой поверхности, к основанию одного из треугольников пристраивают квадрат, равный основанию пирамиды.

Рис. 9. Развертка поверхности правильной пятиугольной пирамиды

Конус

Развертка поверхности прямого кругового конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из кругового сектора и круга (рис. 10).

Рис. 10. Развертка поверхности прямого кругового конуса

Построение  конуса выполняют следующим образом. Проводят осевую линию и из точки, взятой на ней, как из центра, радиусом R₁ равным образующей конуса s'a', очерчивают дугу окружности. В данном примере образующая, подсчитанная по теореме Пифагора (a²+b²=c²), равна приблизительно 38 мм (L=√15²+35²=√1450≈ 38 мм). Затем подсчитывают угол сектора по формуле:

где R – радиус окружности основания конуса (15 мм); L – длина образующей боковой поверхности конуса (38 мм).

В данном примере α = 360°⋅15/38 ≈ 142,2°.

Этот угол строят симметрично относительно осевой линии с вершиной в точке S. К полученному сектору пристраивают круг с центром на осевой линии и диаметром, равным диаметру основания конуса.

Цилиндр

Общеизвестно также, что развертка цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, а другая – развернутой длине окружности основания 2πR (рис. 11).

Рис. 11. Развертка поверхности прямого цилиндра

Шар

В школе на уроках географии вы пользуетесь географическими картами. На картах мира (рис. 12, а) земной шар изображается в виде кругов — восточного и западного полушария.

Но разве развертка шара – круг или, точнее, два круга?

Попытаемся развернуть и совместить с плоскостью шаровую поверхность. Сделать это без складок и разрывов не удастся. Многие геометрические фигуры легко развертываются в плоскость, а шар – нет.

Если поверхность глобуса разрезать вдоль меридианов на маленькие дольки (сегменты) и выпрямить их, то в каждой из этих выпрямленных долек мы можем не заметить никаких видимых искажений. Но развертку мы получим с разрывом (рис. 12, б).

Рис. 12. Географическая карта

Именно такие «дольки» нарезают по контуру и наклеивают одну возле другой на поверхность школьного глобуса. Присмотритесь к глобусу, и вы убедитесь, что это так.

Чтобы получить карту без разрыва, приходится допускать некоторые неточности, которые сводятся к искажению направлений, расстояний и площадей, неодинаковых в разных частях карты.

Развёртки некоторых правильных многогранников представлены на рисунке 13: а) куб, б) тетраэдр, в) октаэдр, г) икосаэдр и д) додекаэдр.

Рис. 13. Развёртки геометрических тел

 

Практические задания, тесты и домашние работы

Графическая работа  

Вопросы для повторения

Тест

Домашняя работа

pdf  Найди развёртку

pdf  Найди кубик

pdf  Перестарались!

pdf  Развёртки куба

pdf  Пакет для молока

pdf  Угадай-ка

pdf  Развертка детали

pdf  Объём банки

pdf  Чертёж по развёртке

pdf